Introdução

O método de Newton é uma das ferramentas mais importantes e eficientes para encontrar as raízes de funções diferenciáveis. Apesar de todo o seu poder, sua ideia fundamental é muito simples: aproximar localmente a função por uma reta tangente e usar o zero dessa reta como uma nova estimativa para a raiz. Nesse texto, detalhamos a dedução do método a partir de uma expansão de Taylor de primeira ordem; também exploramos a propriedade de convergência quadrática do resultado e ilustramos o funcionamento do método através do cálculo da raiz quadrada.

Dedução do Método de Newton

Considere uma função diferenciável $x\leadsto f(x)$ cuja derivada de ordem $n$ é denotada por $x\leadsto f^{(n)}(x).$ Aproximamos a função localmente por uma expansão de Taylor de primeira ordem em um ponto $x=x_n$, isto é $$f(x)\approx f(x_n)+f^{(1)}(x_n)(x-x_n).$$
A partir dessa aproximação linear de primeira ordem para $f(x)$, podemos deduzir o algoritmo de Newton para calcular a raiz de $f(x)$, ou seja, o valor de $x$ para o qual $f(x)=0$. Primeiro, fazemos a substituição de $f(x)=0$ na aproximação $$0\approx f(x_n)+f^{(1)}(x_n)(x-x_n),$$isolando $x\equiv x_{n+1}$, obtemos $$x_{n+1}\approx x_n-\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)}.$$
Para algum $\varepsilon>0$ suficientemente pequeno, estabelecemos como um critério de parada $$|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon,$$ou seja, o processo iterativo para quando $$\left |\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)}\right | <\varepsilon.$$

Convergência Quadrática do Método

Uma das grandes vantagens do método de Newton é sua rápida convergência para a raiz, o que o torna particularmente útil em aplicações que exigem alta precisão com um número limitado de iterações.

Qualquer função $f(x)$ duas vezes diferenciável pode ser representada como uma expansão de Taylor próxima à raíz de $f(x)$. Suponha que a raiz seja $\alpha$. Logo $$f(\alpha) = f(x_n)+f^{(1)}(x_n)(\alpha-x_n)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(\xi_n)(\alpha-x_n)^2$$onde $\xi_n$ é um número entre $x_n$ e $\alpha$. Utilizando a mesma estratégia que adotamos para obter o método iterativo, fazemos $f(\alpha)=0$ na expressão anterior e obtemos $$0 = f(x_n)+f^{(1)}(x_n)(\alpha-x_n)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(\xi_n)(\alpha-x_n)^2$$dividindo por $f^{(1)}(x_n)$ obtemos $$\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)}+(\alpha-x_n) = -\frac{f^{(2)}(\xi_n)}{2f^{(1)}(x_n)}(\alpha-x_n)^2$$
Mas note que o primeiro termo da equação acima pode ser escrito como $\alpha-\left(x_n-\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)}\right )= (\alpha-x_{n+1}) = \varepsilon_{n+1}$. Substituindo na equação anterior, obtemos $$\varepsilon_{n+1} = \left|\frac{f^{(2)}(\xi_n)}{2f^{(1)}(x_n)}\right |\varepsilon_n^2.$$De onde concluímos que a velocidade de convergência do método é de ordem pelo menos quadrática, desde que as condições sejam satisfeitas, como a continuidade das duas primeiras derivadas dentro de uma vizinhança da raiz da função. Além disso, a primeira derivada deve ser diferente de zero na raiz e o chute inicial não deve estar muito distante dessa raiz. Isto é, $$\left|\frac{f^{(2)}(\xi_n)}{2f^{(1)}(x_n)}\right |\varepsilon_0<1$$para algum $\varepsilon_0$ na vizinhança da raiz. Quanto mais próximo o chute inicial estiver da raiz, melhor.

Exemplo

Para ilustrar a aplicação prática do método de Newton e sua convergência, vamos considerar um problema bem conhecido, calcular a raiz quadrada por esse método. Considere então $f(x) = x^2-a$ e queremos encontrar o valor de $x$ para o qual $f(x)=0$ isso equivale a calcular a raiz quadrada de $a$. Temos que $f^{(1)}(x) = 2x$. A partir disso, o passo iterativo é dado por $$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-a}{2x_n}$$Poderíamos escolher um chute inicial como $a/2$. Uma implementação em linguagem R é apresentada.

#Função de iteração de Newton para raiz quadrada de a
newton_step <- function(x_n,a){
return(x_n-(x_n^2-a)/(2*x_n))
}
#Parâmetros
epsilon <- 0.0001
a<-2
x<-a/2 #chute inicial

#Execução do passo iterativo.
repeat{
x_rd <- newton_step(x,a)

#Critério de parada
if(abs(x_rd-x)<epsilon) break
x<-x_rd
}

#Resultado
print(x_rd)

Considerações Finais

As leis do mundo são em sua maioria de natureza não linear. Essencialmente, modelos são simplificações da realidade. A partir deles, nós tentamos isolar algum aspecto da realidade e então estudá-lo. Quando mais rico for o modelo, mais complexo ele será e, portanto, mais difícil de ser estudado. É o preço a se pagar. O problema com equações lineares é que dificilmente conseguimos soluções analíticas para elas, fazendo com que métodos numéricos de solução sejam uma necessidade imprescindível. O método de Newton é um elemento chave nesse conjunto de ferramentas o qual também goza de excelentes propriedades, como a velocidade de convergência da qual falamos. É uma ferramenta elegante, muito simples e poderosa que pode ser facilmente generalizada para problemas em múltiplas dimensões. Todo todo profissional de modelagem a conhece.