A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que permite transformar problemas definidos no domínio do tempo para um novo domínio, onde, em geral, a resolução se torna mais simples. Dito de outro modo, consiste em uma transformação isomorfa – preserva a estrutura do espaço original – que leva um espaço de funções reais para um espaço de funções complexas, simplificando a resolução de equações diferenciais, mas não se limitando a isso. Nesse espaço complexo, podemos resolver o problema mais facilmente. Após isso, fazemos a transformação inversa, levando a solução obtida no espaço complexo para o espaço original. Matematicamente, para uma função adequada \(f(t)\), a transformada de Laplace é definida como:

$$
F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt,
$$

onde \(s\) é um número complexo. Seguindo a notação adotada aqui, a transformada de Laplace de uma função \(F(t)\) será denotada por \(F(s)\), indicando a mudança de variável de \(t\) para \(s\). Além disso, indicamos por \(\dot{f}(x)\) a derivada de \(f(x)\) com respeito a \(x\).

Se \(\xi\) é uma variável aleatória com densidade de probabilidade \(f(t)\), então sua transformada de Laplace é dada por:

$$
s\leadsto \mathbb{E}[e^{-s\xi}],
$$

ou seja, a transformada de Laplace de uma variável aleatória pode ser expressa em termos do valor esperado.

Essa transformada possui várias propriedades úteis, mas nos restringiremos aqui a duas delas: a propriedade da diferenciação e a da integração.

Transformada de Laplace da Derivada

Seja \(F(t)\) uma função diferenciável com transformada de Laplace \(F(s)\). Podemos determinar a transformada de Laplace de sua derivada utilizando o seguinte resultado:

$$
\mathcal{L}{\dot{F}(t)} = sF(s) – F(0).
$$

A demonstração desse fato segue diretamente de uma integração por partes.

Transformada de Laplace da Integral

Agora, consideremos a transformada da integral da função \(F(t)\). Definimos:

$$
G(t) = \int_{0}^{t} F(u) du,
$$

e assumimos que \(G(t)\) é de ordem exponencial. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que \(G(0) = 0\) e que \(\dot{G}(t) = F(t)\). Aplicando a propriedade da derivada:

$$
\mathcal{L}{\dot{G}(t)} = sG(s) – G(0).
$$

Como \(G(0) = 0\), obtemos:

$$
F(s) = s G(s),
$$

o que nos leva a:

$$
G(s) = \frac{F(s)}{s}.
$$

Ou seja, a transformada de Laplace da integral de \(F(t)\) é dada pelo quociente entre a transformada de Laplace de \(F(t)\) e \(s\).

Exemplo: Transformada de Laplace da Cauda da Distribuição

Seja \(X\) uma variável aleatória com densidade de probabilidade \(f(x)\), e seja \(F(x)\) sua função de distribuição acumulada. Desejamos encontrar a transformada de Laplace da cauda da distribuição de \(X\), definida como:

$$
S(x) = P(X > x) = 1 – F(x) = 1 – \int_{0}^{x} f(t) dt.
$$

Tomando a transformada de Laplace de \(S(x)\), temos:

$$S(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-sx} S(x) dx.$$

Utilizando a relação entre \(F(s)\) e \(S(s)\), e aplicando a propriedade da transformada da integral, chegamos ao resultado:

$$S(s) = \frac{1}{s} – \frac{F(s)}{s}.$$

Esse resultado expressa a transformada de Laplace da cauda da distribuição em termos da transformada de Laplace da função de distribuição acumulada.

Comentários finais e sugestões de leitura.

A transformada de Laplace tem muitas propriedades que não abordamos aqui, muitas mesmo. Sua versatilidade não está restrita a soluções de equações diferenciais, mas também a vários problemas em teoria das probabilidades. Por exemplo, podemos usar a transformada de Laplace e o teorema da continuidade para provar a Lei Fraca dos Grandes Números de uma forma bastante direta. Também podemos usá-la na convolução de variáveis aleatórias, bem como na análise de passeios aleatórios. Nessa última análise, é comum combinarmos essa transformada com a transformada de Fourier. Considerando essas possibilidades, é sem dúvida uma ferramenta que deve constar no arsenal de todo profissional de modelagem matemática.

A lista de referências é vasta. A própria Wikipedia é um bom lugar para começar. Um clássico a ser recomendado é Laplace Transforms and Their Applications to Differential Equations de N. W. McLachlan. Mas há outros mais novos, como o The Laplace Transform: Theory and Applications de Joel Schiff ou ainda An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series de Phil Dyke, este último abordando também as séries de Fourier.