Introdução

Em uma entrevista com Pedro Bial, Marcelo Viana, matemático e pesquisador do IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, comenta da relevância da matemática para a sociedade moderna, afirmando que ela, como linguagem, é tão importante para um cidadão como também é sua própria língua materna.

Muitas vezes não paramos para pensar nisso, mas a matemática é uma linguagem com suas próprias regras e construções. Utilizamos a linguagem, como o português, não apenas para transmitir nossos pensamentos, mas também para construí-los, à medida que abstraímos as coisas que estão em nossa volta. Nesse caso, abstrair significa isolar uma parte de um todo, em nossa mente, tratando-a como objeto de contemplação e busca de entendimento. O resultado final desse processo é que formamos um conceito desse objeto de contemplação e aquilo passa a fazer parte de nosso conjunto de saberes. Esse processo envolve também atribuição de sentido.

Nos tornamos muito bons em fazer isso, sobretudo quando dedicamos muito tempo para tal. No entanto, o universo é vasto e repleto de fenômenos essencialmente complexos. Para muitos de nós, não basta entendermos conceitualmente algo, precisamos entender seu funcionamento, como ele interage no seu meio e quais leis governam, por exemplo, seu comportamento. Pense em uma maçã caindo de uma árvore. Por quê ela cai? A qual velocidade? Qual seu impacto e como isso depende da altura da queda? Ou ainda, de quantas formas eu posso combinar as roupas que tenho em meu guarda-roupas de modo a sair o máximo de vezes sem repetir um traje? Ou também, de que modo posso utilizar a estrutura de custos fixos de meu negócio com o objetivo de maximizar minha margem sobre cada produto que vendo? Diante de questões como essas, a língua mãe já não basta. Por isso utilizamos a modelagem matemática.

O que é um modelo matemático

Um modelo matemático é uma construção matemática abstrata e simplificada de um aspecto da realidade criado para algum propósito particular. Em outras palavras, é uma representação matemática simplificada de algum fenômeno do mundo real. Quando elaboramos um modelo, costumamos dividir o mundo em três partes: (1) aspectos ignorados; (2) fatores que afetam o modelo, mas não são objetos de investigação pelo modelo e; (3) fenômenos que o modelo busca explicar. Via de regra, ignoramos completamente a primeira parte. As coisas que afetam o modelo, e que não são ignoradas, são consideradas conhecidas. Elas são variáveis ou suposições elaboradas a partir de dados e outras observações. Considerando que $A$ representa as variáveis conhecidas, o modelo as processa, gerando um resultado.

$$A\leadsto f(A)$$

Um Exemplo Familiar

Um dos modelos mais simples que conhecemos ainda muito jovens é a segunda lei de Newton, o qual relaciona a força resultante $F$ sobre um corpo de massa $m$ à sua aceleração através da seguinte igualdade: $$F = ma.$$ Nesse caso, a força é medida em Newtons $(N)$, a massa em $kg$ e a aceleração em metros por segundo ao quadrado, ou seja, $m/s^2$. Sendo assim, uma pessoa de $50kg$ tem um peso, que nada mais é do que a força agindo sobre essa pessoa pela Terra, $P = mg$ onde $g = 9.8m/s^2$ é a aceleração da gravidade. Portanto $$P = mg=50 (kg) \cdot 9.8 (m/s^2) = 490 N.$$

Etapas do Processo

Construir um modelo envolve algumas etapas básicas em um processo iterativo ao longo delas, conforme o diagrama abaixo. Primeiro, analisamos um problema real de modo a extrair seus fundamentos através de idealização e formulação de hipóteses. Uma vez cumprida essa etapa, devemos formular esse esquema em linguagem matemática, obtendo uma construção matemática daquela idealização. O próximo passo é investigar o modelo matemático em grande profundidade, utilizando análise matemática e simulações numéricas de modo a gerar previsões sob condições adequadas.

Após isso, procuramos validar nosso modelo, comparando seus resultados com informações reais, com resultados gerados por outros modelos já bem estabelecidos ou dados experimentais. Esse processo se repete, indo e voltando, até que possamos concluir, via validação, que o modelo é razoavelmente adequado.

Tipos de Modelos

Quando tomamos o modelo idealizado e o escrevemos dentro de um framework matemático, obteremos várias formas de modelo, tudo depende do framework escolhido. Poderemos ter um modelo algébrico, como um modelo de precificação de títulos públicos, ou como a segunda lei de Newton que mostramos anteriormente. Também é possível obter um modelo baseado em equações diferenciais, como modelos de crescimento populacional mais simples, ou curvas de custos de produção de uma indústria, ou ainda um modelo para escoamento de fluidos que podemos usar no desenvolvimento de algum sistema aerodinâmico de interesse. Há também os modelos estatísticos e probabilísticos, os quais capturam características aleatórias presentes no problema original.

Naturalmente, teremos também modelos de aprendizagem, através dos quais podemos resolver muitos problemas interessantes, utilizando modelos de regressão, árvores de classificação e redes neurais artificiais, por exemplo. Os modelos de aprendizagem são uma ótima alternativa, quando o problema que tentamos solucionar não pode ser resolvido utilizando métodos mais diretos. Uma característica desses modelos é que na presença de fluxo de dados, o modelo incorpora novas informações, e se ajusta a elas, de modo que ele se adapta à novas situações do mundo real que representa.

Considerações Finais

À parte de tudo o que apresentamos, a característica mais importante em um processo de modelagem é a interdisciplinaridade. Ela envolve matemática aplicada, ciência da computação, engenharia, biologia, economia e basicamente todas as áreas do conhecimento humano, a depender do problema de interesse. Na realidade do mundo moderno, a capacidade de criar modelos versáteis e adequados é fator de grande importância frente à crescente competitividade e complexidade dos problemas que surgem, mesmo diante dos modelos de negócios mais sólidos.